有限数学示例

$\sqrt{4 x + 7} = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{4 x + 7}}^{2} = {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 x + 7}$ 重写成 ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(4 x + 7)}^{1} = {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$4 x + 7 = {(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})$ 。

$4 x + 7 = (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6}) (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$4 x + 7 = \sqrt{x + 1} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$4 x + 7 = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$4 x + 7 = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

乘以 $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1.1

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x + 7 = {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.2

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x + 7 = {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x + 7 = {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x + 7 = {\sqrt{x + 1}}^{2} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 重写为 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 x + 7 = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x + 7 = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 x + 7 = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$4 x + 7 = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$4 x + 7 = {(x + 1)}^{1} + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.2.5

化简。

$4 x + 7 = x + 1 + \sqrt{x + 1} (- \sqrt{x + 6}) - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 6} - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} - \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$

解题步骤 2.3.1.3.1.6

乘以 $- \sqrt{x + 6} (- \sqrt{x + 6})$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 1 \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6}$

解题步骤 2.3.1.3.1.6.2

将 $\sqrt{x + 6}$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6}$

解题步骤 2.3.1.3.1.6.3

对 $\sqrt{x + 6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {\sqrt{x + 6}}^{1} \sqrt{x + 6}$

解题步骤 2.3.1.3.1.6.4

对 $\sqrt{x + 6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {\sqrt{x + 6}}^{1} {\sqrt{x + 6}}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {\sqrt{x + 6}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {\sqrt{x + 6}}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7

将 ${\sqrt{x + 6}}^{2}$ 重写为 $x + 6$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 6}$ 重写成 ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {(x + 6)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.7.4.1

约去公因数。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {(x + 6)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7.4.2

重写表达式。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + {(x + 6)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.7.5

化简。

$4 x + 7 = x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + x + 6$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$4 x + 7 = 2 x + 1 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 6$

解题步骤 2.3.1.3.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$4 x + 7 = 2 x + 7 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 3

求解 $- \sqrt{(x + 6) (x + 1)}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 x + 7 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = 4 x + 7$ 。

$2 x + 7 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = 4 x + 7$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $- \sqrt{(x + 6) (x + 1)}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$7 - \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = 4 x + 7 - 2 x$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$- \sqrt{(x + 6) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = 4 x + 7 - 2 x - 7$

解题步骤 3.2.3

在等式两边都加上 $\sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 。

$- \sqrt{(x + 6) (x + 1)} = 4 x + 7 - 2 x - 7 + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 3.2.4

合并 $4 x + 7 - 2 x - 7 + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$- \sqrt{(x + 6) (x + 1)} = 4 x - 2 x + 0 + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $4 x - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$- \sqrt{(x + 6) (x + 1)} = 4 x - 2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 3.2.5

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- \sqrt{(x + 6) (x + 1)} = 2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- \sqrt{(x + 6) (x + 1)})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 6) (x + 1)}$ 重写成 ${((x + 6) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {((x + 6) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(- {((x + 6) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 6) (x + 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

${(- {(x (x + 1) + 6 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

${(- {(x \cdot x + x \cdot 1 + 6 (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

${(- {(x \cdot x + x \cdot 1 + 6 x + 6 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(- {(x^{2} + x \cdot 1 + 6 x + 6 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(- {(x^{2} + x + 6 x + 6 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

${(- {(x^{2} + x + 6 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $x$ 和 $6 x$ 相加。

${(- {(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- {(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

将 ${({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 ${({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 7 x + 6)}^{1} = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.7

化简。

$x^{2} + 7 x + 6 = {(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2}$ 重写为 $(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}) (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}) (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}) (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 6 = 2 x (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)}) + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 6 = 2 x (2 x) + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)})$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 6 = 2 x (2 x) + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x) + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 7 x + 6 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x) + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x) + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x) + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} (2 x) + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + \sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

乘以 $\sqrt{(x + 1) (x + 6)} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.5.1

对 $\sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {\sqrt{(x + 1) (x + 6)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5.2

对 $\sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {\sqrt{(x + 1) (x + 6)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x + 6)}}^{1}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {\sqrt{(x + 1) (x + 6)}}^{1 + 1}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {\sqrt{(x + 1) (x + 6)}}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 ${\sqrt{(x + 1) (x + 6)}}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 6)$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 重写成 ${((x + 1) (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {({((x + 1) (x + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {((x + 1) (x + 6))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {((x + 1) (x + 6))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.3.1.6.4.1

约去公因数。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {((x + 1) (x + 6))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6.4.2

重写表达式。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + {((x + 1) (x + 6))}^{1}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6.5

化简。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + (x + 1) (x + 6)$

解题步骤 5.3.1.3.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 6)$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.7.1

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x (x + 6) + 1 (x + 6)$

解题步骤 5.3.1.3.1.7.2

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x \cdot x + x \cdot 6 + 1 (x + 6)$

解题步骤 5.3.1.3.1.7.3

运用分配律。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x \cdot x + x \cdot 6 + 1 x + 1 \cdot 6$

解题步骤 5.3.1.3.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x^{2} + x \cdot 6 + 1 x + 1 \cdot 6$

解题步骤 5.3.1.3.1.8.1.2

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x^{2} + 6 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 6$

解题步骤 5.3.1.3.1.8.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x^{2} + 6 x + x + 1 \cdot 6$

解题步骤 5.3.1.3.1.8.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x^{2} + 6 x + x + 6$

解题步骤 5.3.1.3.1.8.2

将 $6 x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 7 x + 6 = 4 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + x^{2} + 7 x + 6$

解题步骤 5.3.1.3.2

将 $4 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$x^{2} + 7 x + 6 = 5 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x + 7 x + 6$

解题步骤 5.3.1.3.3

重新排序 $2 \sqrt{(x + 1) (x + 6)} x$ 的因式。

$x^{2} + 7 x + 6 = 5 x^{2} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 7 x + 6$

解题步骤 5.3.1.3.4

将 $2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 和 $2 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 相加。

$x^{2} + 7 x + 6 = 5 x^{2} + 4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 7 x + 6$

解题步骤 6

求解 $4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $5 x^{2} + 4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 7 x + 6 = x^{2} + 7 x + 6$ 。

$5 x^{2} + 4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 7 x + 6 = x^{2} + 7 x + 6$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $5 x^{2}$ 。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 7 x + 6 = x^{2} + 7 x + 6 - 5 x^{2}$

解题步骤 6.2.2

从等式两边同时减去 $7 x$ 。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} + 6 = x^{2} + 7 x + 6 - 5 x^{2} - 7 x$

解题步骤 6.2.3

从等式两边同时减去 $6$ 。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = x^{2} + 7 x + 6 - 5 x^{2} - 7 x - 6$

解题步骤 6.2.4

合并 $x^{2} + 7 x + 6 - 5 x^{2} - 7 x - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.4.1

从 $7 x$ 中减去 $7 x$ 。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = x^{2} + 6 - 5 x^{2} + 0 - 6$

解题步骤 6.2.4.2

将 $x^{2} + 6 - 5 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = x^{2} + 6 - 5 x^{2} - 6$

解题步骤 6.2.4.3

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = x^{2} - 5 x^{2} + 0$

解题步骤 6.2.4.4

将 $x^{2} - 5 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = x^{2} - 5 x^{2}$

解题步骤 6.2.5

从 $x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)} = - 4 x^{2}$

解题步骤 7

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(4 x \sqrt{(x + 1) (x + 6)})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8

化简方程的两边。

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解题步骤 8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x + 6)}$ 重写成 ${((x + 1) (x + 6))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(4 x {((x + 1) (x + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

化简 ${(4 x {((x + 1) (x + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 6)$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

运用分配律。

${(4 x {(x (x + 6) + 1 (x + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.1.2

运用分配律。

${(4 x {(x \cdot x + x \cdot 6 + 1 (x + 6))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.1.3

运用分配律。

${(4 x {(x \cdot x + x \cdot 6 + 1 x + 1 \cdot 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(4 x {(x^{2} + x \cdot 6 + 1 x + 1 \cdot 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2.1.2

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

${(4 x {(x^{2} + 6 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(4 x {(x^{2} + 6 x + x + 1 \cdot 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

${(4 x {(x^{2} + 6 x + x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2.2

将 $6 x$ 和 $x$ 相加。

${(4 x {(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.1.3.1

对 $4 x {(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(4 x)}^{2} {({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3.2

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$4^{2} x^{2} {({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 x^{2} {({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5

将 ${({(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 x^{2} {(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.5.2.1

约去公因数。

$16 x^{2} {(x^{2} + 7 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.2.2

重写表达式。

$16 x^{2} {(x^{2} + 7 x + 6)}^{1} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.6

化简。

$16 x^{2} (x^{2} + 7 x + 6) = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.7

运用分配律。

$16 x^{2} x^{2} + 16 x^{2} (7 x) + 16 x^{2} \cdot 6 = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.8

化简。

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解题步骤 8.2.1.8.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.8.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$16 (x^{2} x^{2}) + 16 x^{2} (7 x) + 16 x^{2} \cdot 6 = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 x^{2 + 2} + 16 x^{2} (7 x) + 16 x^{2} \cdot 6 = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.8.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$16 x^{4} + 16 x^{2} (7 x) + 16 x^{2} \cdot 6 = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.8.2

使用乘法的交换性质重写。

$16 x^{4} + 16 \cdot 7 x^{2} x + 16 x^{2} \cdot 6 = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.8.3

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$16 x^{4} + 16 \cdot 7 x^{2} x + 96 x^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.9

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.2.1.9.1.1

移动 $x$ 。

$16 x^{4} + 16 \cdot 7 (x \cdot x^{2}) + 96 x^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.9.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1.9.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 x^{4} + 16 \cdot 7 (x^{1} x^{2}) + 96 x^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 x^{4} + 16 \cdot 7 x^{1 + 2} + 96 x^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.9.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$16 x^{4} + 16 \cdot 7 x^{3} + 96 x^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.1.9.2

将 $16$ 乘以 $7$ 。

$16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} = {(- 4 x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简 ${(- 4 x^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $- 4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} = {(- 4)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} = 16 {(x^{2})}^{2}$

解题步骤 8.3.1.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} = 16 x^{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} = 16 x^{4}$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $16 x^{4}$ 。

$16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x^{4} = 0$

解题步骤 9.1.2

合并 $16 x^{4} + 112 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $16 x^{4}$ 中减去 $16 x^{4}$ 。

$112 x^{3} + 96 x^{2} + 0 = 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $112 x^{3} + 96 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$112 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

解题步骤 9.2

从 $112 x^{3} + 96 x^{2}$ 中分解出因数 $16 x^{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1

从 $112 x^{3}$ 中分解出因数 $16 x^{2}$ 。

$16 x^{2} (7 x) + 96 x^{2} = 0$

解题步骤 9.2.2

从 $96 x^{2}$ 中分解出因数 $16 x^{2}$ 。

$16 x^{2} (7 x) + 16 x^{2} (6) = 0$

解题步骤 9.2.3

从 $16 x^{2} (7 x) + 16 x^{2} (6)$ 中分解出因数 $16 x^{2}$ 。

$16 x^{2} (7 x + 6) = 0$

解题步骤 9.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$7 x + 6 = 0$

解题步骤 9.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 9.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 9.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 9.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 9.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 9.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 9.5

将 $7 x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $7 x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$7 x + 6 = 0$

解题步骤 9.5.2

求解 $x$ 的 $7 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 9.5.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$7 x = - 6$

解题步骤 9.5.2.2

将 $7 x = - 6$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 9.5.2.2.1

将 $7 x = - 6$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 9.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.5.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 9.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 6}{7}$

解题步骤 9.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{6}{7}$

解题步骤 9.6

最终解为使 $16 x^{2} (7 x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{6}{7}$

解题步骤 10

排除不能使 $\sqrt{4 x + 7} = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 6}$ 成立的解。

$无解$

有限数学 示例

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